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二 欧拉常数（第2页）

ln（1+1n）-1（n+1）1n-1（2n^2）-1（n+1）=1（n^2+n）-1（2n^2）0

即ln（1+1n）-1（n+1）0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此

S=lim[1+12+13+…+1n-ln（n）]（n→∞）存在。

于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0。57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1（n+1）+1（n+2）+…+1（n+n）]（n→∞），可以这样做：

lim[1（n+1）+1（n+2）+…+1（n+n）]（n→∞）=lim[1+12+13+…+1（n+n）-ln（n+n）]（n→∞）-lim[1+12+13+…+1n-ln（n）]（n→∞）+lim[ln（n+n）-ln（n）]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

欧拉常数发现的历史

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉1735年定义。曾使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（LorenzoMasi）引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

终于，XavierGourdon使用该公式在1999年计算欧拉常数到了108，000，000位，他使用了一种新算法：

An

γ=---------ln（n）+O（e^（-8n））

BnBn^2

βnn^k

An=∑（-）^2*Hk

k=0k!

βnn^k

Bn=∑（-）^2

k=0k!

12n[（2k）!]^3

=----∑----

4nk=0（k!）^4*（16n）^（2k）

β满足β（ln（β）-1）=3

目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10E242080（Havil，第97页）