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第五章 欧拉的主要研究成果（第3页）

（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为"树枝形"。

（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

方法2：计算多面体各面内角和

设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和Σα

一方面，在原图中利用各面求内角总和。

设有F个面，各面的边数为n1，n2，…，nF，各面内角总和为：

Σα=[（n1-2）·180度+（n2-2）·180度+…+（nF-2）·180度]

=（n1+n2+…+nF-2F）·180度

=（2E-2F）·180度=（E-F）·360度（1）

另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为（n-2）·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为（V-n）·360度，边上的n个顶点处的内角和（n-2）·180度。

所以，多面体各面的内角总和：

Σα=（V-n）·360度+（n-2）·180度+（n-2）·180度

=（V-2）·360度（2）

由（1）（2）得：（E-F）·360度=（V-2）·360度

所以V+F-E=2。

方法3用拓扑学方法证明欧拉公式

尝试一下用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末

F-E+V=2。

证明如图（图是立方体，但证明是一般的，是"拓朴"的）：

（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。

（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。

（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

即F′-E′+V′=1

成立，于是欧拉公式：

F-E+V=2

得证。

欧拉定理的运用方法

（1）分式：

a＾r（a-b）（a-c）+b＾r（b-c）（b-a）+c＾r（c-a）（c-b）

当r=0，1时式子的值为0

当r=2时值为1